دليل سهل لجمع وطرح الأرقام في النظام الثنائي

جمع الأعداد في النظام الثنائي

نظام العد الثنائي (بالإنجليزية: Binary Numeral System) هو نظام عد يستخدم الرقم 2 كأساس، إذ يُمثل القيم العددية باستخدام رمزين فقط وهما 0 و 1، ويُستخدم النظام الثنائي في أجهزة الحواسيب،¹ وفيما يأتي شرح لخطوات إحدى العمليات الحسابية في النظام الثنائي وهي عملية الجمع:

وللجمع بالنظام الثنائي يُوجد 4 قواعد أساسيّة باستخدامها يُمكن إضافة أي رقم ثنائي بسهولة، وهي كالآتي:²³

جدير بالذكر أنّ عملية الجمع في النظام الثنائي تشبه عملية الجمع في النظام العشري الذي أساسه الرقم 10،³ وفيما يأتي جدول يُبين الأرقام في النظام العشري وما يُقابلها في النظام الثنائي:⁴

• وعلى سبيل المثال، 1+1 = 2 في النظام العشري، فإنّ 1+1 = 10 في النظام الثنائي.³
• وبنفس الطريقة 1+1+1 = 3 في النظام العشري، فإنّ 1+1+1= 11 في النظام الثنائي.³
• وبطريقة أخرى كأننا نقول 2+1 = 3 في النظام العشري، و10+1 = 11 في النظام الثنائي (أي الرقم الثنائي التالي بعد الـ10).⁵

وباستخدام القواعد السابقة يُمكننا جمع أعداد النظام الثنائي المُكوّنة من أكثر من منزلة، وذلك بالخطوات التالية:⁵

على سبيل المثال: ? =1100+1110

خطوات الحل:

• نُرتب الأعداد فوق بعضها بعضًا، ثم نبدأ بجمع كل خانة من اليمين إلى اليسار.
• نضع حاصل جمع كل خانة أسفل منها، وإذا كان ناتج الخانة مكونًا من رقمين نضع الرقم الأول أسفل منها، ونُضيف الرقم الثاني إلى الخانة التي تليها.
• باستخدام القواعد نبدأ بجمع كل خانة، نبدأ بأول خانة على اليمين:
• 0+0 = 0
• 0+1 = 1
• 1+1 = 10، نضع الصفر أسفل الخانة، ونُضيف الواحد إلى الخانة التالية.
• 1+1+1 = 1+10 = 11.

وبالتالي ناتج الجمع يكون كالآتي:

• 1
• 1110
• 1100 +
• ــــــــــ
• 11010

إذًا ناتج الجمع: 11010 =1100+1110

أمثلة على جمع الأعداد في النظام الثنائي

المثال الأول: إيجاد ناتج جمع المعادلة التالية: ? =101+111

خطوات الحل:

• 1+1 = 10، نضع الصفر أسفل الخانة ونُضيف الواحد إلى الخانة التالية.
• 0+1+1= 10، نضع الصفر أسفل الخانة ونُضيف الواحد إلى الخانة التالية.
• 1+1+1 = 1+10 = 11.

وبالتالي:

• 11
• 111
• 101 +
• ــــــــ
• 1100

المثال الثاني: إيجاد ناتج جمع المعادلة التالية: ? =1000+1011

خطوات الحل:

• 0+1 = 1.
• 0+1= 1.
• 0+0= 0.
• 1+1= 10.

وبالتالي:

• 1011
• 1000+
• ــــــــــ
• 10011

المثال الثالث: إيجاد ناتج جمع المعادلة التالية: ? =11000+10111

خطوات الحل:

• 0+1 = 1.
• 0+1= 1.
• 0+1= 1.
• 1+0= 1.
• 1+1= 10.

وبالتالي:

• 10111
• 11000 +
• ــــــــــــ
• 101111

النظام الثنائي هو اللغة المستخدمة في بعض لغات البرمجة ويُمكن تعريفه على أنّه نظام عد أساسه الرقم 2، ويُمثل الأعداد برمزين فقط 0 و 1، وتشبه عملياته الحسابية عمليات النظام العشري، ولذلك يسهل التحويل من النظام العشري إلى الثنائي، ويمتلك النظام الثنائي 4 قواعد أساسية يُمكن من خلالها جمع الأعداد الثنائية بسهولة، عن طريق وضع كل عدد فوق الآخر، وجمع كل خانة من اليمين إلى اليسار، وإذا كان ناتج إحدى الخانات مكونًا من منزلتين نُضيف المنزلة الثانية إلى الخانة التي تليها.

طرح الأعداد في النظام الثنائي

ولطرح النظام الثنائي يوجد 4 قواعد أساسية باستخدامها يُمكن طرح أي رقم ثنائي بسهولة، وهي كالآتي:⁶

وبنفس عملية الطرح، فعندما نقول 3-2 = 1 في النظام العشري، فإنّ 11-1 = 10 في النظام الثنائي.³

وباستخدام القواعد السابقة يُمكننا طرح أعداد النظام الثنائي المكوّنة من أكثر من منزلة، وذلك بالخطوات الآتية:

على سبيل المثال: ? =100-1010

خطوات الحل:

• نُرتب الأعداد فوق بعضها بعضًا، ثم نبدأ بطرح كل خانة من اليمين إلى اليسار.
• نضع حاصل طرح كل خانة أسفل منها.
• إذا كان العدد المطروح أكبر من العدد المطروح منه نستلف واحد من الخانة التي تليه، فإذا كان العدد 0 نستلف واحد من الخانة التالية يُصبح 10، ويُصبح 1 في الخانة التالية بعد الاستلاف يساوي 0.
• باستخدام القواعد السابقة نبدأ بطرح كل خانة، نبدأ بأول خانة على اليمين:
• 0-0= 0
• 0-1= 1
• 1-0= نستلف واحد من الخانة التالية، تُصبح 10-1=1.
• 0-1= بعد الاستلاف منه يصبح 0-0=0.

وبالتالي ناتج الطرح يكون كالآتي:

• 010
• 1010
• 100 –
• ـــــــــــ
• 110

إذًا ناتج الطرح: 110 =100+1010

طرح الأعداد باستخدام المتممة

وفيما يأتي خطوات طرح أعداد النظام الثنائي باستخدام المتممة:⁷

على سبيل المثال: ?=100101-110010

خطوات الحل:

• نجد متمم العدد المطروح أي العدد الثاني من عملية الطرح وهو (100101).
• نجد متتم العدد الثنائي من خلال تبديل كل 0 إلى 1، وتبديل 1 إلى 0.
• متتم العدد 100101: 011010.
• نجمع متمم العدد المطروح مع العدد الأول وهو المطروح منه:
• 1 1
• 011010
• 110010 +
• ـــــــــــــــــ
• 1001100

وإذا تضمّن الناتج عملية ترحيل أي زاد عدد المنازل على جهة اليسار بسبب ترحيل متبقي، فإننا نضيف الرقم المُرّحل إلى النتيجة، وإذا لم يكن هناك ترحيل يكون ناتج الطرح هو الناتج نفسه.

• تضمن ناتج المثال لدينا عملية ترحيل 1001100 وهو آخر منزلة الرقم 1.
• نضيف الرقم 1 الزائد إلى العدد الناتج 1100.
• 1100
• 1 +
• ـــــــــــ
• 1101

وبالتالي ناتج طرح 1101=100101-110010

أمثلة على طرح الأعداد في النظام الثنائي

المثال الأول: إيجاد ناتج طرح المعادلة التالية: ? =100-110

خطوات الحل:

• 110
• 100 –
• ــــــــ
• 010

نحل المعادلة باستخدام المتممة:

• نجد متممة العدد 100 وهي: 011.
• نُضيف العدد 011 إلى 110.
• 1
• 011
• 110 +
• ــــــــ
• 1001

ونظرًا لزيادة عدد الخانات بسبب العدد 1 الموجود أقصى اليسار نُضيفه إلى الجواب.

• 1
• 1 +
• ـــــ
• 10

إذا ناتج طرح المعادلة: 10 =100-110

المثال الثاني: إيجاد ناتج طرح المعادلة التالية: ? =10000-10110

خطوات الحل:

• 10110
• 10000 –
• ـــــــــــــ
• 00110

نحل المعادلة باستخدام المتممة:

• نجد متممة العدد 10000 وهي: 01111.
• نُضيف العدد 01111 إلى 10110.
• 111
• 01111
• 10110 +
• ـــــــــــــ
• 100101

ونظرًا لزيادة عدد الخانات بسبب العدد 1 الموجود أقصى اليسار نُضيفه إلى الجواب.

• 1
• 101
• 1 +
• ــــــــــ
• 110

إذا ناتج طرح المعادلة: 110 =10000-10110

المثال الثالث: إيجاد ناتج طرح المعادلة التالية: ? =0101-1110

خطوات الحل:

• 010
• 1110
• 0101 –
• ــــــــــ
• 1001

نحل المعادلة باستخدام المتممة:

• نجد متممة العدد 0101 وهي: 1010.
• نُضيف العدد 1010 إلى 1110.
• 11
• 1010
• 1110 +
• ـــــــــــــ
• 11000

ونظرًا لزيادة عدد الخانات بسبب العدد 1 الموجود أقصى اليسار نُضيفه إلى الجواب.

• 1000
• 1 +
• ــــــــــ
• 1001

إذا ناتج طرح المعادلة: 1001 =0101-1110

يمتلك النظام الثنائي 4 قواعد أساسية لعملية الطرح، ويُمكن من خلالها طرح الأعداد الثنائية بسهولة بوضع كل عدد فوق الآخر وطرح كل منزلة من اليمين إلى اليسار، وإذا كان المطروح أكبر من المطروح منه نستلف واحد من الخانة التالية، كما يُمكن استخدام طريقة المتممة لطرح الأعداد الثنائية، ونجد متتم العدد الثنائي من خلال تبديل كل رقم 0 إلى 1 وكل رقم 1 إلى 0.