حاصل الضرب للمجموعات المنتهية
المجموعات المنتهية يمكننا الحصول على ناتج ضربها من خلال أخذ العنصر الأول في المجموعة الأولى مع العنصر الأول في المجموعة الثانية ، ومن ثم أخذ نفس العنصر الأول في المجموعة الأولى مع العنصر الثاني في المجموعة الثانية من خلال وضع العناصر في جدول، أو من خلال استخدام طريقة المخطط السهمي،1 ويمكن معرفة ذلك من خلال المثال الآتي:
مثال 1
جد حاصل الضرب للمجموعتين الآتيتين في كل حالة من الحالات الآتية:
- الحالة الأولى: س x ص
- س= {2,1}, ص= {3,2,1}
الحل:
|
س
|
ص
|
1×ص
|
2×ص
|
|
1
|
1
|
(1,1)
|
(1,2)
|
|
2
|
2
|
(2,1)
|
(2,2)
|
|
3
|
(3,1)
|
(3,2)
|
نستنتج من الجدول السابق أن ناتج س x ص = {(1,1), (2,1), (3,1), (1,2), (2,2), (3,2)}
الحالة الثانية: ص x س
|
ص
|
س
|
1×س
|
2×س
|
3×س
|
|
1
|
1
|
(1,1)
|
(1,2)
|
(1,3)
|
|
2
|
2
|
(2,1)
|
(2,2)
|
(2,3)
|
|
3
|
نستنتج من الجدول السابق أن ناتج ص x س= {(1,1), (2,1), (1,2), (2,2), (1,3), (2,3)}
بناءً على ذلك فإن ناتج س x ص لا يساوي ناتج ص x س
حاصل الضرب للمجموعات غير المنتهية
يمكن تصنيف المجموعات غير المنتهية على النحو الآتي:
- مجموعة الأعداد الطبيعية
وهي الأعداد المحصورة في المجموعة الآتية:
ط = {3,2,1,0,…}
- مجموعة الأعداد الصحيحة
وهي الأعداد الموجبة والسالبة الصحيحة.
- مجموعة الأعداد الحقيقية
جميع الأعداد الصحيحة والكسرية.
- مجموعة الأعداد النسبية
هي مجموعة الأعداد الكسرية التي تحتوي على بسط ومقام يفصل بينهما عملية القسمة، شرط أن لا تكون قيمة المقام مساوية للصفر.
تتم عملية ضرب المجموعات غير المنتهية من خلال استخدام ورق الرسم البياني، ورسم المستوى الديكارتي لإحداثيات المجموعة الأولى والمجموعة الثانية، وتمثيل النقاط على المستوى الديكارتي.
مثال: جد حاصل الضرب لمجموعة الأعداد الطبيعية ط X ط
ط = {, 3,2,1,0,…}
الحل:
يتم تمثيل الأعداد الطبيعية على مستقيمين متعامدين، أحدهما أفقي والآخر عامودي، ويتقاطعان عند نقطة الأصل، ومن ثم نرسم مستقيمات رأسية وأفقية خارجة من النقاط التي تمثل الأعداد الطبيعية على كل من المستقيمين الأفقي (س) والصادي (ص).2
المجموعات غير المنتهية
هي المجموعات التي تكون عدد عناصر مجموعتها غير محددة، ومثال على ذلك، إذا كانت س هي الأعداد الطبيعية الأصغر من 4، فإننا نكتب:
س= {1,2,3,0}
وهي مجموعة قد علمنا تحديد عناصرها، فهي تسمى مجموعة منتهية، أما إذا ص هي مجموعة الأعداد الطبيعية الأكبر من 4، فإننا نكتب:
ص= {7,6,5,…}
في هذه الحالة الثلاث نقط التي تم كتابتها بعد الرقم 7 تعني أن المجوعة لم تنتهي وتستمر إلى ما لا نهاية، ونكون غير قادرين على حصر عناصر المجموعة.3
المراجع
- “الضرب الديكارتي”، نفهم، اطّلع عليه بتاريخ 13/2/2022. بتصرّف.
- [١], eegmp3, Retrieved 13/2/2022. Edited.
- “المجموعة المنتهية والمجموعة الغير المنتهية”، سهل ، اطّلع عليه بتاريخ 13/2/2022. بتصرّف.
