طرق حل معادلات خطية بمجهولين: أمثلة وشروحات في تعليم الرياضيات

أمثلة على حل معادلات خطية بمجهولين

ندرج فيما يأتي أمثلة على حل معادلات خطية بمجهولين:

حل المعادلات الخطية بمجهولين باستخدام طريقة التعويض

المثال (1): جد قيمة المتغيرين (س، ص) في المعادلات الآتية باستخدام طريقة التعويض:

• س + 8 ص = 5
• 2 ص + 4 س = 6

الحل:¹

1. تُبسط المعادلات إلى أبسط الصورة على النحو الآتي:
   1. تبقى المعادلة الأولى كما هي لأنّها في أبسط صورة: س + 8 ص = 5
   2. تُبسط المعادلة الثانية من خلال قسمة جميع حدودها على العدد 2، فتُصبح المعادلة كالآتي: ص + 2 س = 3.

1. يُكتب المتغير س بدلالة المتغير ص من خلال إعادة ترتيب المعادلة الأولى (س + 8 ص = 5) ويكون الناتج: س = 5 – 8 ص.
2. تُعوض قيمة س في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة المتغير ص كالآتي:
   1. ص + 2 س = 3
   2. ص + 2 (5 – 8 ص) = 3
   3. ص + 10 – 16 ص = 3
   4. -15 ص + 10 = 3
   5. -15 ص = -7
   6. ص= 15/7

1. تُعوض قيمة ص في المعادلة (س = 5 – 8 ص) لإيجاد قيمة س، ويُصبح الناتج:
   1. س= 5 – 8 ص
   2. س= 5 – 8 × 15/7
   3. س= 5 – 3.733
   4. س= 1.266

المثال (2): جد قيمة المتغيرين (س، ص) في المعادلات الآتية باستخدام طريقة التعويض:

• 6 س = ص – 3
• ص + س = 4

الحل:²

1. يُكتب المتغير س بدلالة المتغير ص من خلال إعادة ترتيب المعادلة الثانية (ص + س = 11) ويكون الناتج: س = 11 – ص.
2. تُعوض قيمة س في المعادلة الأولى لإيجاد قيمة المتغير ص كالآتي:
   1. 6 (11 – ص ) = ص – 3
   2. 66 – 6 ص = ص – 3
   3. 69 = 7 ص
   4. ص = 7/69

1. تُعوض قيمة ص في المعادلة (س = 11 – ص) لإيجاد قيمة س، ويُصبح الناتج:
   1. س = 11 – ص
   2. س = 11 – 7/69
   3. س = 1.1428

حل المعادلات الخطية بمجهولين باستخدام طريقة الحذف

المثال (1): أوجد قيمة المتغيرين (س، ص) في المعادلات الآتية باستخدام طريقة الحذف:

• 3 س + 4 ص = 2
• ص – 9 س = 9

الحل:³

1. تُضرب جميع حدود المعادلة الأولى بالعدد 3 ليُصبح معامل المتغير س في المعادلتين متساوي في القيمة ومختلف في الإشارة، فتُصبح المعادلة بعد الضرب:3 ( 3 س + 4 ص = 2) = 9 س + 12 ص = 6.
2. جمع المعادلتين لحذف المتغير س وإيجاد قيمة المتغير ص، كالآتي:
   1. 9 س + 12 ص = 6
   2. ص – 9 س = 9
   3. 9 س – 9س + 12 ص + ص = 6 + 9
   4. 13 ص = 15
   5. ص = 1.1538

1. تُعوض قيمة ص في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة المتغير (س) كالآتي:
   1. ص – 9 س = 9
   2. 1.1538 – 9 س = 9
   3. س = -0.8717

المثال (2): جد قيمة المتغيرين (س، ص) في المعادلات الآتية باستخدام طريقة الحذف:

• 2 س = 16 + 20 ص
• ص – س = 1

الحل:³

1. تُبسط المعادلة الأولى من خلال قسمة جميع الحدود على العدد 2، فتُصبح المعادلة: س = 8 + 10 ص.
2. يُعاد ترتيب المعادلة الأولى بعد تبسيطها لجعل ترتيب حدودها مشابه لترتيب حدود المعادلة الثانية، فتُصبح المعادلة: س – 10 ص = 8.
3. جمع المعادلتين لحذف المتغير س وإيجاد قيمة المتغير ص، كالآتي:
   1. س – 10 ص = 8
   2. ص – س = 5
   3. س – س – 10 ص + ص = 8 + 1
   4. -9 ص = 9
   5. ص = -1

1. تُعوض قيمة ص في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة المتغير س كلآتي:
   1. ص – س = 1
   2. -1 – س = 1
   3. س = -2

المراجع

1. “ALGEBRA AND TRIGONOMETRY”, BCcampus, Retrieved 27/1/2022. Edited.
2. Lynn Marecek (7/1/2020), “4.1: Solve Systems of Linear Equations with Two Variables”, MATHEMATICS LibreTexts, Retrieved 27/1/2022. Edited.
3. ^ ^{أ ب} “Section 7-1 : Linear Systems With Two Variables”, Paul’s Online Notes, Retrieved 27/1/2022. Edited.