طريقة تحليل القوس التكعيبي
يتكوّن القوس التكعيبي من حدين أو أكثر وهو مرفوع للقوة 3، ويكون عادة على الصيغة الآتية: (أ±ب)3، ويعني تحليل القوس التكعيبي أو فك القوس التكعيبي ضرب كثير الحدود بنفسه ثلاث مرات كما يأتي: (أ±ب)3= (أ±ب)×(أ±ب)×(أ±ب)، وذلك باتباع الخطوات الآتية:1
- ضرب أول قوسين ببعضهما البعض وفق خاصية التوزيع:
- (أ+ب)×(أ+ب) = (مربع الحد الأول + 2×الحد الأول×الحد الثاني + مربع الحد الثاني): (أ+ب)×(أ+ب) = أ2+2×أ×ب+ب2.
- (أ-ب)×(أ-ب) = (مربع الحد الأول – 2×الحد الأول×الحد الثاني + مربع الحد الثاني): (أ-ب)×(أ-ب) = أ2-2×أ×ب+ب2.
- ضرب ناتج التحليل السابق بـ (أ+ب) مرة أخرى لينتج أن: (أ+ب) × (أ2+2×أ×ب + ب2)= أ3+3×أ2×ب + 3×أ×ب2 + ب3.
- بناء على ما سبق تكون القاعدة كما يلي:
- (أ+ب)3 = (مكعب الحد الأول) + (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) + (3×الحد الأول×مربع الحد الثاني) + (مكعب الحد الثاني) = أ³+(3×أ²×ب) + (3×أ×ب²) + ب³.
- (أ-ب)3 = (مكعب الحد الأول) – (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) + (3× الحد الأول×مربع الحد الثاني) – (مكعب الحد الثاني) = أ³ – (3×أ²×ب) + (3×أ×ب²) – ب³.
أمثلة على تحليل القوس التكعيبي
وفيما يأتي بعض الأمثلة على تحليل القوس التكعيبي:
- المثال الأول: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (س+1)3.2
- الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون التحليل كالآتي: س3+3س2+ 3س+1
- المثال الثاني: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (أ-2ب)3.2
- الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون التحليل كالآتي: أ3-6أ2ب +12أ×ب2-8ب3.
- المثال الثالث: اكتب ما يلي بأبسط صورة: (س+ص)³ + (س-ص)³.2
- الحل:
- بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس الأول والثاني كالآتي:
- (س+ص)³ = س³ + (3×س²×ص) + (3×س×ص²) + ص³.
- (س-ص)³ = س³- (3×س²×ص) + (3×س×ص²) – ص³.
- (س+ص)³ + (س-ص)³ = س³ + (3×س²×ص) + (3×س×ص²) + ص³ + س³- (3×س²×ص) + (3×س×ص²) – ص³ = 2س³ + 6×س×ص².
- المثال الرابع: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (2س+1)³.3
- الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:
- (2س+1)³ = 8س³ + 12س² + 6س+ 1.
- الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:
- المثال الخامس: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (2س-3ص)³.3
- الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:
- (2س-3ص)³ = 8س³ – 36س²ص+ 54س ص² – 27ص³.
- الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:
الفرق بين القوس التكعيبي والفرق بين مكعبين
يختلف تحليل الفرق بين مكعبين (أ3– ب3)، أو تحليل مجموع المكعبين، عن تحليل القوس التكعيبي (أ±ب)3؛ حيث يكون تحليل القوس التكعيبي كما ذُكر سابقاً، أما تحليل الفرق بين مكعبين، ومجموع المكعبين فيكون باتباع القواعد الآتية:4
- فتح قوسين: في الأول يتم وضع الجذر التكعيبي للحد الأول مطروحاً منه الجذر التكعيبي للحد الثاني (أ-ب).
- وضع مربع الحد الأول في القوس الثاني ثم الحد الأول مضروباً بالحد الثاني، ثم مربع الحد الثاني: (أ2 + أ×ب + ب2): حيث تكون إشارة الحد الأوسط دائماً عكس إشارة (ب)، أما إشارة الحد الأخير فدائماً موجبة، لتكون النتيجة في النهاية كما يلي:
- (أ3– ب3) = (أ-ب)(أ2 + أ×ب + ب2).
- (أ3+ب3) = (أ+ب)(أ2 – أ×ب + ب2).
- مثال: حلّل ما يلي: (س3-8).4
- تطبيق القاعدة المذكورة سابقاً ليكون التحليل كالآتي: (س-2)(س2+2س+4).
- مثال: حلّل ما يلي: 27ص³+س³.4
- تطبيق القاعدة المذكورة سابقاً ليكون التحليل كالآتي: (3ص+س)(9ص2-3س ص+س²).
المراجع
- “Binomial Theorem”, www.mathsisfun.com, Retrieved 2-3-2019. Edited.
- ^ أ ب ت “Applying the Perfect Cube Identity”, www.brilliant.org, Retrieved 8-6-2020. Edited.
- ^ أ ب “Polynomials Basic”, www.web-formulas.com, Retrieved 8-6-2020. Edited.
- ^ أ ب ت “Sum and Difference of Cubes”, www.varsitytutors.com, Retrieved 9-6-2020. Edited.
