دليل شامل على استخدام القانون العام والمميز لحل المعادلات التربيعية في التعليم

القانون العام والمميز لحل المعادلات التربيعية

يستخدم القانون العام والمميز (بالإنجليزية: The general rule for quadratic equations) لحل المعادلات التربيعية، أي المعادلات الرياضية من الدرجة 2، وبالتالي فإن الصيغة التربيعية تدل على أن حلول هذه المعادلة هي س:¹

القانون العام

يستخدم القانون العام لاستخراج حلول المعادلة أو جذورها أو قيمة س، العبارة التربيعية التالية:²

أ س² + ب س + جـ = 0

فإن:

س = [ – ب ±  ( ب² – 4 أ جـ ) √ ] / 2 أ

حيث أن:

• س: جذر أو جذرا المعادلة
• أ: معامل س²
• ب: معامل س
• جـ: الحد المطلق

المميز

يستخدم المميز (بالإنجليزية: discriminant) للاستدلال على عدد الحلول الممكنة للعبارة التربيعية كما يلي:³

نقوم بحساب قيمة المميّز

المميّز = ( ب² – 4 أ جـ ) √

حيث أن:

• أ: معامل س²
• ب: معامل س
• جـ: الحد المطلق

بعد إيجاد قيمة المميّز نطبّق ما يأتي:

• إذا كان المميّز > 0، إذا للمعادلة جذران، ويمكن إيجاد قيمتا س باستخدام القانون العام.
• إذا كان المميّز < 0، إذا ليس للمعادلة جذور، ولا يمكن إيجاد قيمة لـ س باستخدام القانون العام.
• إذا كان المميّز = 0، إذا للمعادلة جذر واحد، ويمكن إيجاد قيمة س باستخدام القانون العام.

مميزات استخدام القانون العام والمميز لحل المعادلات التربيعية

تمتاز طريقة استخدام القانون العام والمميز لإيجاد حلول المعادلات التربيعية، بسهولة تطبيقها مباشرة، وذلك بتعويض قيم معامل س² ومعامل س والحد المطلق في القانون، إضافة إلى ذلك فإن هذه الطريقة تصلح لجميع المعادلات التربيعية على اختلاف تفاصيلها وأشكال حدودها.⁴

أمثلة على استخدام القانون العام والمميز لحل المعادلات التربيعية

فيما يلي مثال على استخدام القانون العام لحل المعادلة التالية:

4 س² – 24 س + 35 = 0

الحلّ:

• يتم استخدام المميز للتأكد من عدد جذور المعادلة إن وجدت
• ( ب² – 4 أ جـ ) √ = ( 24² – 4 × 4 × 35 ) √ = ( 576 – 560 ) √ = 16 √ = 4 > 0، إذا للمعادلة جذران، ويمكن إيجاد قيمتا س باستخدام القانون العام.
• لحل المعادلة باستخدام القانون العام:
• س = [ – ب ±  ( ب² – 4 أ جـ ) √ ] / 2 أ
• س = [ – -24 ± ( – 24² – 4 × 4 × 35 ) √ ] / 2 × 4
• س = [ 24 ± 4 ] / 8
• س = [ 24 + 4 ] / 8 ، [ 24 – 4 ] / 8
• س = 28 / 8 ، 20 / 8
• س = 14 / 4 ، 10 / 4
• س = 7 / 2 ، 5 / 2

المراجع

1. “The quadratic formula”, khanacademy, Retrieved 3/2/2022. Edited.
2. “quadratic-equation”, britannica, Retrieved 3/2/2022. Edited.
3. “discriminant”, cuemath, Retrieved 3/2/2022. Edited.
4. Peter Flom (24/4/2017), “Pros & Cons of Methods for Quadratic Equations”, sciencing, Retrieved 3/2/2022. Edited.