دليل شامل على الأسس النسبية في التعليم

شرح الأسس النسبية

الأسس النسبية أو الكَسْرِيّة (Fractional Exponents): هي الأسس التي يكون فيها الأس كَسْرًا،¹ مثل:

س^1÷2

• حيث نسمي الرمز س في المثال السابق “الأساس “(base)، ونسمي الكسر (1÷2) “الأس”

مثال: ميِّز الأساس من الأس في الأمثلة التالية:

س^4÷7 《س: الأساس، (4÷7): الأس》 ص^5÷8 《ص:الأساس، (5÷8): الأس》

ع^1÷3 《ع: الأساس، (1÷3): الأس》

قواعد لحل المسائل في الأسس النسبية

تفيد القواعد التالية عند إجراء عمليات حسابية للأسس، أو عندما نقوم بتبسيط الأسس:

• بشكلٍ عامٍّ تُعَبِّر الأسس عن عدد مرات مضاعفة الأساس،² فعندما نقول 10^3 فهذا يعني أن الأساس(10) مضاعفٌ3 مرات، أي أنّ:

10^3 = 10×10×10=1000

أما الأسس النسبية، فهي وسيلة للتعبير عن قوة الجذر للأساس، وتكون قوة الجذر مساوية للرقم الذي في مقام (المقسوم عليه) الأس، مثلًا: عندما نرفع الأساس (10) للأس (1\3) فإنها تساوي الجذر التكعيبي للرقم 10 ³

لتوضيح المسألة، انظر الجدول التالي:

• عند إجراء عملية ضرب، ننظر للأساس فإن كان متشابهًا، نجمع الأسس، ونُبقي الأساس كما هو، انظر الأمثلة التالية:

مثال أ: س^(1÷2) × س^(1÷4)= س^(3÷4)

مثال ب: 64^(1÷6) × 64^(1÷2) = 64^(4÷6) = 64^(2\3)= مربع الجذر التكعيبي للرقم 64 =4^2 = 16

عند إجراء عملية القسمة، ننظر للأسس فإن كانت متساوية، نطرح أس المقسوم عليه (المقام في الأساس) من أس المقسوم (البسط)، على النحو التالي:

س^أ ÷ س^ب = س^(أ- ب)

مثال أ: س^(4\7) ÷ س^(1\7) = س^(3\7)

• إذا كانت الأساسات مختلفة والأسس متشابهة، تُجْرى العمليات الحسابية وفق القاعدتين التاليتين:

قاعدة: س^أ × ص^أ= (س ص)^أ

قاعدة: س^أ ÷ ص^أ= (س÷ص)^أ

أمثلة:

مثال ج: س^(1÷2) ÷ ص^(1÷2)= (س÷ ص)^(1÷2)

مثال د: س^(8\15) × ص^(8\15)= (س ص)^(8\15)

• إذا كان كلٌّ من الأساسات والأُسس على جزأي العملية الحسابية غير متساويين، فليس هناك من طريقة لتبسيط شكل الأسس، مثل:

س^أ × ص^ب

الأسس النسبية السالبة

القاعدة الأساسية في الأسس النسبية السالبة هي:

س^(-أ)= 1\س^أ

1\س^(-أ)= س^أ

مثال هـ: جِد ناتج كلٍّ مما يلي بأبسط صورة:

4^(-2\4) + 32^(-1\5) – (1÷ س^(-4))

الحل:

نحل كل طرف من المعادلة ثم نجمع

4^(-2\4)= 4^(-1\2)= 1÷ 4^(1\2)= 1÷2= 1\2

32^(-1\5)= 1÷32^(1\5)= 1÷2= 1\2

1÷ ( س^(-4))= س^4

نجمع النواتج:

1\2+ 1\2 + س^4= 1+ (س^4)

تمارين

احسب ناتج كل مما يلي:

تمرين1:

18^(5\10) ÷ 2^(1÷2)

(* ننتبه لتوحيد المقامات عند اختلاف المقام في القسمة، وهنا 5\10=1\2)

الحل) = (18÷2)^(1\2)

= 9^(1\2)= 3

تمرين2:

1000^(5\3) ÷ 1000^(6\9)

الحل

نوحد المقامات في الأسس على النحو التالي:

نضرب البسط والمقام في الكسر(5\3) بالرقم 3

ثم نطرح الأسس لأن الأساس متشابه

15\9 – 6\9= 9\9= 1

1000^(9\9) = 1000^1=1000

المراجع

1. Lee Johnson (8/12/2020), “Fractional Exponents”, Sciencing , Retrieved 8/2/2022. Edited.
2. Jennifer Ledwith (27/8/2018), “Exponents and bases”, Thoughtco, Retrieved 8/2/2022. Edited.
3. “Fractional Exponents “, Cuemath, Retrieved 8/2/2022. Edited.