كيفية تعريف معادلة الدائرة: دليل شامل في علم الرياضيات

تعريف معادلة الدائرة

توصف الدائرة (Circle) بأنّها عبارة عن منحنى دائري مغلق يتكون من مجموعة من النقاط التي تقع على مسافة متساوية من نقطة ثابتة تُسمى المركز، وتُسمى المسافة الثابتة بين أي نقطة على منحنى الدائرة أو محيطها وبين مركز الدائرة بنصف القطر،¹وتتمثل معادلة الدائرة بتوضيح العلاقة بين إحداثيات أي نقطة تقع على محيط الدائرة، بحيث تُكتب معادلة الدائرة التي يقع مركزها على نقطة الأصل (0، 0) وإحداثياتها (س، ص) لنقطة تقع على المحيط وإحداثياتها (س، ص) باستخدام نظرية فيثاغورس. ²

حيث يُرسم خط أفقي على المحور السيني حتى النقطة س، ويُرسم خط عمودي على المحور الصادي حتى النقطة ص، يتشكل بذلك مثلث قائم الزاوية بحيث يكون الوتر هو نصف قطر الدائرة، وبالتالي تُصبح معادلة الدائرة حسب نظرة فيثاغورس على النحو الآتي:²

س² + ص² = ر²

حيث أنّ:

• (س، ص): إحداثيات أي نقطة تقع على الدائرة.
• ر: نصف قطر الدائرة

بحيث تُمثل هذه الصيغة معادلة الدائرة التي يقع مركزها عند نقطة الأصل ونصف قطرها (ر).

يُمكن إعادة كتابة صيغة معادلة الدائرة على الصورة القياسية والصورة العامة كما يأتي:²

معادلة الدائرة بالصورة القياسية

تُمثل معادلة الدائرة بالصورة القياسية التي نصف قطرها (ر) ويقع مركزها عند النقطة (ف، ق) لأي نقطة على الدائرة بإحداثيات (س، ص) على النحو الآتي:³

(س – ف) ² + (ص – ق) ² = ر²

حيث إنّ:

• (س، ص): إحداثيات أي نقطة تقع على الدائرة.
• (ف، ق): إحداثيات مركز الدائرة.
• ر: نصف قطر الدائرة.

معادلة الدائرة بالصورة العامة

يُمكن كتابة معادلة الدائرة بالصيغة العامة من خلال فك أقواس الصيغة القياسية فتُصبح المعادلة على النحو الآتي:⁴

س²+ ص²+ 2 أ س+ 2 ب ص+ جـ= 0

حيث إنّ:

• (أ، ب، جـ): أعداد ثابتة.
• (س، ص): إحداثيات أي نقطة تقع على الدائرة.

تُستخدم الصيغة العامة لمعادلة الدائرة لإيجاد إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها كما يأتي:⁴

• إحداثيات مركز الدائرة = (- أ، – ب).
• نصف قطر الدائرة = (أ² + ب² – جـ) √

أمثلة على معادلة الدائرة

وفيما يأتي أبرز الأمثلة على معادلة الدائرة:

إيجاد معادلة الدائرة إذا كان نصف قطرها وإحداثيات مركزها معلومين

ما هي معادلة الدائرة التي نصف قطرها 15 وإحداثيات مركزها (1-، 6-)؟

الحل:

تُكتب الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة ويُعوض فيها نصف قطرها 15 وإحداثيات مركزها (ف= 1-)، و(ق= 6-) على النحو الآتي:

1. (س – ف) ² + (ص – ق) ² = ر²
2. (س – -1) ² + (ص – -6) ² = 15²
3. (س + 1) ² + (ص + 6) ² = 225

إيجاد نصف قطر الدائرة وإحداثيات مركزها من الصورة العامة لمعادلة الدائرة

جد نصف قطر الدائرة وإحداثيات مركزها التي معادتها س²+ ص² + 8 س+ 6 ص+ 9= 0

الحل:

تُكتب الصيغة العامة لمعادلة الدائرة:

1. س²+ ص²+ 2 أ س+ 2 ب ص+ جـ= 0
2. نُلاحظ بأنّ:
3. 2 أ = 8، وبالتالي فإنّ أ = 4.
4. 2 ب = 6، وبالتالي فإنّ ب = 3
5. جـ = 9
6. إذًا إحداثيات مركز الدائرة = (- أ، – ب) = (4-، 3-)
7. ونصف قطر الدائرة = (أ² + ب² – جـ) √ = (4² + 3² – 9) √ = (16) √ = 4.
8. إذًا نصف قطر الدائرة 4 وإحداثيات مركزها (4-، 3-).

المراجع

1. “Equation of Circle”, CUEMATH, Retrieved 1/1/2022. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} “Equation Of A Circle”, BYJU’S, Retrieved 1/1/2022. Edited.
3. “Circle Equations”, MATH is FUN, Retrieved 1/1/2022. Edited.
4. ^ ^{أ ب} “General Form of the Equation of a Circle”, Math-Only-Math, Retrieved 1/1/2022. Edited.