كل ما تحتاج لمعرفته حول قانون البعد بين نقطتين في التعليم

نص قانون البعد بين نقطتين

يُعرّف قانون البعد بين النقطتين بأنّه طول الخط المستقيم الذي يمر بين نقطتين وتكون قيمته دائمًا موجبة، ويُمكن حسابه باستخدام إحداثيات أي نقطة تقع في المستوى ثنائي الأبعاد بتطبيق الصيغة الرياضية الآتية:¹

المسافة بين نقطتين = ((س₂ – س₁)² + (ص₂ – ص₁)²)√

بحيث يُمثل هذا القانون المسافة بين نقطتين إحداثياتهما (س_1، ص₁) و(س_2، ص₂).²

اشتقاق قانون البعد بين نقطتين

يُمكن اشتقاق قانون البعد بين نقطتين من خلال ما يأتي:³

• تحديد إحداثيّات النقطتين على المستوى الديكارتي على فرض أن النقطة الأولى تساوي أ، والنقطة الثانية تساوي ب.
• رسم خط مُستقيم يصل بين النقطة أ والنقطة ب، وإكمال الرسم ليتشكل مثلث قائم الزاوية في النقطة ج.
• من خلال نظرية فيثاغورس يتضح أنّ:⁴

(ب ج)² + (ج أ)² = (أب)²

• تحديد إحداثيات النقطتين أ و ب، بحيث أن النقطة أ تساوي (س₁,ص₁) والنقطة ب تساوي (س₂,ص₂)، وبالتالي فإنّ المسافة الأفقية (ب ج) = س₁ – س₂ ، والمسافة العمودية (ج أ) = ص₁ – ص₂.
• تعويض قيمة كل من (ب ج) و (ج أ) في الخطوة السابقة بقانون نظرية فيثاغورس فينتج ما يأتي:

المسافة² = (س₁ – س₂)² + (ص₁ – ص₂)²

المسافة بين النقطتين أ و ب = الجذر التربيعي للقيمة ((س₁ – س₂)² + (ص₁ – ص₂)²).

أمثلة على حساب البعد بين نقطتين

فيما يلي بعض الأمثلة على حساب البعد بين نقطتين:

المثال الأول: جد المسافة بين النقطة أ (2،6) وبين نقطة الأصل.

الحل:

• تُكتب المعطيات:
  • إحداثيات النقطة أ = (2،6)، إذ س1= 6، ص1= 2.
  • إحداثيات نقطة الأصل = (0،0)، إذ س2= 0، ص2= 0.

• يُعوض في قانون المسافة:
  • المسافة بين نقطتين = ((س2 – س1)² + (ص2 – ص1)²)√
  • المسافة بين نقطتين = ((0 – 6)² + (0 – 2)²)√
  • المسافة بين نقطتين = (36 + 4)√
  • المسافة بين نقطتين = 40√
  • المسافة بين نقطتين = 6.32

المثال الثاني: احسب المسافة بين النقطة أ (2،3-) والنقطة ب (4،8-).

الحل:

• تُكتب المعطيات:
  • إحداثيات النقطة أ = (2،3-)، إذ س1= 3، ص1= 2-.
  • إحداثيات النقطة ب = (4،8-)، إذ س2= 8، ص2= 4-.

• يُعوض في قانون المسافة:
  • المسافة بين نقطتين = ((س2 – س1)² + (ص2 – ص1)²)√
  • المسافة بين نقطتين = ((8 – 3)² + (-4 – -2)²)√
  • المسافة بين نقطتين = (25 + 4)√
  • المسافة بين نقطتين = 29√
  • المسافة بين نقطتين = 5.38

المثال الثالث: جد المسافة بين النقطة أ (4-،7) والنقطة ب (9-،1).

الحل:

• تُكتب المعطيات:
  • إحداثيات النقطة أ = (4-،7)، إذ س1= 4-، ص1= 7.
  • إحداثيات النقطة ب = (9-،1)، إذ س2= 9-، ص2= 1.

• يُعوض في قانون المسافة:
  • المسافة بين نقطتين = ((س2 – س1)² + (ص2 – ص1)²)√
  • المسافة بين نقطتين = (9- – 4-)²+(1 – 7)²)√
  • المسافة بين نقطتين = (25 + 36)√
  • المسافة بين نقطتين = 61√
  • المسافة بين نقطتين = 7.8

المثال الرابع: جد المسافة بين النقطة أ (3-،5-) والنقطة ب (7-،6-).

الحل:

• تُكتب المعطيات:
  • إحداثيات النقطة أ = (3-،5-)، إذ س1= 3-، ص1= 5-.
  • إحداثيات النقطة ب = (7-،6-)، إذ س2= 7-، ص2= 6-.

• يُعوض في قانون المسافة:
  • المسافة بين نقطتين = ((س2 – س1)² + (ص2 – ص1)²)√
  • المسافة بين نقطتين = ((7- – 3-)² + (6- – 5-)²)√
  • المسافة بين نقطتين = (16 + 1)√
  • المسافة بين نقطتين = 17√
  • المسافة بين نقطتين = 4.12

يُمكن حساب المسافة بين أي نقطتين على المستوى الديكارتي باستخدام القانون: المسافة بين نقطتين = ((س₂ – س₁)² + (ص₂ – ص₁)²)√، بحيث تُمثل هذه المسافة الخط المستقيم الرابط بين النقطتين وتكون قيمته موجبة، ولا يُمكن أن تكون هذه المسافة خطًا منحنيًا أبدًا.