كيفية حساب مساحة سطح الهرم: دليل شامل في مجال التعليم

قانون مساحة الهرم

يمكن تعريف المساحة الجانبية للهرم (بالإنجليزية: Lateral Surface Area) بأنها مجموع المساحات للأوجه المثلثة الجانبية، أو كامل الأوجه باستثناء مساحة القاعدة، أما المساحة الكلية (بالإنجليزية: Total Surface Area) فتتمثّل بمجموع المساحة الجانبية، ومساحة القاعدة، ويمكن إيجاد المساحة الجانبية، والكلية باستخدام الصيغ الآتية:¹

• المساحة الجانبية = 1/2 × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي.
• المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.

يمكن حساب مساحة الهرم الكلية حسب شكل قاعدته وفق القوانين الآتية:

مساحة الهرم الثلاثي

إذا كان الهرم ثلاثياً؛ أي قاعدته مثلثة الشكل فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:²

مساحة الهرم الثلاثي = 1/2×(أ×ب)+ 3/2×(ب×ع)،³ حيث:

• أ: هو ارتفاع القاعدة المثلثة
• ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة المثلثة.
• ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.

مساحة الهرم الرباعي

إذا كان الهرم رباعياً؛ أي قاعدته مربعة الشكل فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:⁴

مساحة الهرم الرباعي = ب²+2×(ب×ع)، حيث:

• ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة.
• ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.

مساحة الهرم الخماسي

إذا كان الهرم خماسياً؛ أي قاعدته خماسية الشكل، فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:²

مساحة الهرم الخماسي = 5/2×(أ×ب) + 5/2×(ب×ع)، حيث:

• أ: هو المسافة العمودية من مركز القاعدة خماسية الشكل إلى أحد أضلاع القاعدة.
• ب: أحد أضلاع القاعدة الخماسية.
• ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.

مساحة الهرم السداسي

إذا كان الهرم سداسي الشكل؛ أي قاعدته سداسية، فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:²

مساحة الهرم السداسي= 3×(أ×ب) + 3×(ب×ع)، حيث:

• أ: هو المسافة العمودية من مركز القاعدة السداسية إلى أحد أضلاع القاعدة.
• ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة السداسية.
• ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.

أمثلة متنوعة حول حساب مساحة الهرم

فيما يأتي أمثلة متنوعة حول حساب مساحة الهرم:

أمثلة على مساحة الهرم الثلاثي

• احسب مساحة الهرم الثلاثي الذي طول أحد أضلاع قاعدته المثلثية 5 سم، وارتفاعه الجانبي 6 سم، وارتفاع قاعدة الهرم 3 سم؟

الحل:

• التعويض في قانون مساحة الهرم الثلاثي:
  • مساحة الهرم الثلاثي = 1/2×(أ×ب)+ 3/2×(ب×ع)
  • مساحة الهرم الثلاثي = 1/2×(3 × 5)+ 3/2×(5 × 6)
  • مساحة الهرم الثلاثي = 52.5 سم²

• هرم ثلاثي متساوي الأضلاع طول ضلع قاعدته 7 سم، وارتفاعه الجانبي 9 سم، فما هي مساحة سطحه الجانبية؟

الحل:

• التعويض في قانون المساحة الجانبية للهرم الثلاثي:
• المساحة الجانبية = 1/2 × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي.
• يجد محيط القاعدة وبما أنّ القاعدة عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع فإنّ محيط القاعدة كالآتي:
• حساب محيط المثلث= 3 × طول الضلع
• محيط قاعدة المثلث= 3 × 7 = 21 سم.
• التعويض في القانون المساحة:
• المساحة الجانبية= 1/2 × 21 × 9
• المساحة الجانبية= 94.5 سم².

أمثلة على مساحة الهرم الرباعي

• ما هي مساحة الهرم الرباعي الذي ارتفاعه الجانبي 5 سم، وطول أحد أضلاع قاعدته 8 سم؟

الحل:

• التعويض في قانون مساحة الهرم الرباعي:
• مساحة الهرم الرباعي = 8²+2×(8×5)

• إذا علمتَ أنّ المساحة الجانبية للهرم الرباعي تساوي 100 سم²، وطول ضلع قاعدته 8 سم، فما هي مساحة الهرم الرباعي؟

الحل:

• المساحة الكلية للهرم الرباعي= المساحة الجانبية + مساحة القاعدة
• يجب إيجاد مساحة القاعدة عبر حساب مساحة المربع، إذ مساحة القاعدة = طول الضلع²
• مساحة القاعدة= 8² = 64 سم²
• التعويض في القانون:

أمثلة على مساحة الهرم الخماسي

• احسب مساحة الهرم الخماسي الذي ارتفاعه الجانبي 11 سم، وطول ضلع قاعدته 6 سم، والمسافة العمودية بين مركز قاعدته وأحد أضلاعه 4 سم.

الحل:

• التعويض في القانون:

• إذا علمتَ أنّ مساحة الهرم الخماسي تساوي 200 سم²، ومحيط قاعدته يساوي 30 سم، وارتفاعه الجانبي 10 سم، فما هي مساحة قاعدته؟

الحل:

• لإيجاد مساحة القاعدة يجب إيجاد المساحة الجانبية للتعويض في القانون الآتي:
• المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.

أمثلة على حساب مساحة الهرم السداسي

• احسب مساحة الهرم السداسي الذي ارتفاعه الجانبي 13 سم، وطول ضلع قاعدته 8 سم، والمسافة العمودية بين مركز قاعدته وأحد أضلاعه 6 سم.

الحل:

• التعويض في القانون:
• مساحة الهرم السداسي= 3×(أ×ب) + 3×(ب×ع)
• مساحة الهرم السداسي= 3×(6×8) + 3×(8×13)
• مساحة الهرم السداسي= 3×(6×8) + 3×(8×13)
• مساحة الهرم السداسي= 456 سم²

• ما هي المساحة الجانبية لهرم سداسي تبلغ مساحته الكلية 360 سم²، ومساحة قاعدته 65 سم²؟

الحل:

• التعويض في القانون:
• المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
  • 360 = المساحة الجانبية + 65
  • المساحة الجانبية = 295 سم²