قوانين المستطيل
وفيما يأتي أبرز القوانين الخاصة بالمستطيل:
قوانين حساب محيط المستطيل
يُمكن تعريف محيط المستطيل (بالإنجليزية: Rectangle Perimeter) على أنه المسافة الإجمالية حول سطح المستطيل، ويُقاس المحيط باستخدام إحدى وحدات قياس الطول، ويتم حساب محيط المستطيل بعدّة طرق هي كما يأتي:1
- حساب المحيط باستخدام الطول والعرض، وهو القانون الأكثر شيوعاً، ويساوي ضعفي مجموع الطول والعرض؛ حيث:
- محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)، وبالرموز: ح=2(أ+ب)؛ حيث:
- أ: طول المستطيل.
- ب: عرض المستطيل.
- محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)، وبالرموز: ح=2(أ+ب)؛ حيث:
- حساب المحيط باستخدام القطر والطول أو العرض، حيث:
- محيط المستطيل=2×الطول+2×(القطر²- الطول²)√، وبالرموز: ح=2أ+2(ق²-أ²)√، أو محيط المستطيل=2×العرض+2×(القطر²- العرض²)√، وبالرموز: ح=2ب+2(ق²-ب²)√؛ حيث:2
- أ: طول المستطيل.
- ب: عرض المستطيل.
- ح: محيط المستطيل.
- ق: قطر المستطيل.
- محيط المستطيل=2×الطول+2×(القطر²- الطول²)√، وبالرموز: ح=2أ+2(ق²-أ²)√، أو محيط المستطيل=2×العرض+2×(القطر²- العرض²)√، وبالرموز: ح=2ب+2(ق²-ب²)√؛ حيث:2
- حساب المحيط باستخدام المساحة والطول أو العرض، حيث:
- محيط المستطيل=2×الطول+2×(المساحة/الطول)، وبالرموز: ح=2أ+2(م/أ)، أو محيط المستطيل=2×العرض+2×(المساحة/العرض)، وبالرموز: ح=2ب+2(م/ب)، حيث:2
- أ: طول المستطيل.
- ب: عرض المستطيل.
- م: مساحة المستطيل.
- محيط المستطيل=2×الطول+2×(المساحة/الطول)، وبالرموز: ح=2أ+2(م/أ)، أو محيط المستطيل=2×العرض+2×(المساحة/العرض)، وبالرموز: ح=2ب+2(م/ب)، حيث:2
قوانين حساب مساحة المستطيل
يُمكن تعريف مساحة المستطيل (بالإنجليزية: Rectangle Area) على أنها مقدار الحيّز أو الفراغ المحصور داخل المستطيل، وتقاس بوحدة الطول المربعة، ويتم حساب مساحة المستطيل بعدّة طرق هي كما يأتي:1
- باستخدام الطول والعرض، وهو القانون الأكثر شيوعاً ويساوي طول المستطيل مضروباً في عرضه؛ حيث:
- مساحة المستطيل=الطول×العرض، وبالرموز: م=أ×ب؛ حيث:
- أ: طول المستطيل.
- ب: عرض المستطيل.
- مساحة المستطيل=الطول×العرض، وبالرموز: م=أ×ب؛ حيث:
- حساب المساحة باستخدام المحيط والطول أو العرض، حيث:
- مساحة المستطيل=(محيط المستطيل×الطول-2×الطول²)/2، وبالرموز: م=(ح أ -2أ²)/2، أو مساحة المستطيل=(محيط المستطيل×العرض-2×العرض²)/2، وبالرموز: م=(ح ب -2ب²)/2؛ حيث:3
- أ: طول المستطيل.
- ب: عرض المستطيل.
- ح: محيط المستطيل.
- م: مساحة المستطيل.
- مساحة المستطيل=(محيط المستطيل×الطول-2×الطول²)/2، وبالرموز: م=(ح أ -2أ²)/2، أو مساحة المستطيل=(محيط المستطيل×العرض-2×العرض²)/2، وبالرموز: م=(ح ب -2ب²)/2؛ حيث:3
- حساب المساحة باستخدام القطر والطول أو العرض، حيث:
- مساحة المستطيل=الطول×(القطر²-الطول²)√، وبالرموز: م=أ(ق²-أ²)√، أو مساحة المستطيل=العرض×(القطر²-العرض²)√، وبالرموز: م=ب(ق²- ب²)√؛ حيث:3
- أ: طول المستطيل.
- ب: عرض المستطيل.
- ق: قطر المستطيل.
- م: مساحة المستطيل.
- مساحة المستطيل=الطول×(القطر²-الطول²)√، وبالرموز: م=أ(ق²-أ²)√، أو مساحة المستطيل=العرض×(القطر²-العرض²)√، وبالرموز: م=ب(ق²- ب²)√؛ حيث:3
- حساب المساحة باستخدام القطر وجيب الزاوية الحادّة المحصورة بين القطرين، عن طريق ضرب مربع القطر في جيب الزاوية الحادّة، ثمّ قسمة المقدار على 2، حيث:
- مساحة المستطيل=القطر²× جيب الزاوية الحادّة/2، وبالرموز: م=ق²×(جا(β)/ 2)؛ حيث:3
- β: الزاوية الحادة المحصورة بين قطري المستطيل.
- ق: قطر المستطيل.
- م: مساحة المستطيل.
- مساحة المستطيل=القطر²× جيب الزاوية الحادّة/2، وبالرموز: م=ق²×(جا(β)/ 2)؛ حيث:3
قوانين حساب أطوال أقطار المستطيل
يُمكن حساب أطوال أقطار (بالإنجليزية: Diagonal) المستطيل بعدّة طرق هي كما يأتي:1
- باستخدام نظريّة فيثاغورس: وذلك بأحذ الجذر التربيعي لمجموع مربعي الطول والعرض، لينتج أن:
- قطر المستطيل=(الطول²+العرض²)√، وبالرموز: ق=(أ²+ب²)√؛ حيث:
- ق: قطر المستطيل.
- أ: طول المستطيل.
- ب: عرض المستطيل.
- قطر المستطيل=(الطول²+العرض²)√، وبالرموز: ق=(أ²+ب²)√؛ حيث:
- حساب القطر باستخدام المساحة والطول أو العرض حيث:
- قطر المستطيل=(المساحة²/الطول²+الطول²)√، وبالرموز: ق=(م²/أ² +أ²)√، أو قطر المستطيل=(المساحة²/العرض²+العرض²)√، وبالرموز: ق=(م²/ب²+ب²)√؛ حيث:4
- ق: قطر المستطيل.
- أ: طول المستطيل.
- ب: عرض المستطيل.
- م: مساحة المستطيل.
- قطر المستطيل=(المساحة²/الطول²+الطول²)√، وبالرموز: ق=(م²/أ² +أ²)√، أو قطر المستطيل=(المساحة²/العرض²+العرض²)√، وبالرموز: ق=(م²/ب²+ب²)√؛ حيث:4
- حساب القطر باستخدام المحيط والطول أو العرض: حيث:
- قطر المستطيل=(2×الطول²-المحيط×الطول+(المحيط²)/4)√، وبالرموز: ق=(2×أ²-ح×أ+(ح²)/4)√، أو قطر المستطيل=(2×العرض²-المحيط×العرض+(المحيط²)/4)√، وبالرموز: ق=(2×ب²-ح×ب+(ح²)/4)√؛ حيث:4
- ق: قطر المستطيل.
- أ: طول المستطيل.
- ب: عرض المستطيل.
- ح: محيط المستطيل.
- قطر المستطيل=(2×الطول²-المحيط×الطول+(المحيط²)/4)√، وبالرموز: ق=(2×أ²-ح×أ+(ح²)/4)√، أو قطر المستطيل=(2×العرض²-المحيط×العرض+(المحيط²)/4)√، وبالرموز: ق=(2×ب²-ح×ب+(ح²)/4)√؛ حيث:4
- حساب القطر باستخدام جيب الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل والضلع المقابل للزاوية، حيث:
- قطر المستطيل=الضلع المقابل/جيب الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل، وبالرموز: ق=أ/جاα؛ حيث:3
- ق: قطر المستطيل.
- أ: طول ضلع المستطيل المقابل للزاوية (α).
- α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل.
- قطر المستطيل=الضلع المقابل/جيب الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل، وبالرموز: ق=أ/جاα؛ حيث:3
- باستخدام جيب التمام للزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل والضلع المجاور للزاوية، حيث:3
- قطر المستطيل=الضلع المجاور/جيب الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل، وبالرموز: ق=ب/جتاα؛ حيث:
- ق: قطر المستطيل.
- ب: طول ضلع المستطيل المجاور للزاوية (α).
- α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل .
- قطر المستطيل=الضلع المجاور/جيب الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل، وبالرموز: ق=ب/جتاα؛ حيث:
- باستخدام جيب الزاوية الحادة بين القطرين ومساحة المستطيل: حيث:3
- قطر المستطيل= (2×المساحة×جيب الزاوية الحادة)√، وبالرموز: ق=(2×م×جاβ)√؛ حيث:
- ق: قطر المستطيل.
- م: مساحة المستطيل.
- β: الزاوية الحادة المحصورة بين قطري المستطيل.
- قطر المستطيل= (2×المساحة×جيب الزاوية الحادة)√، وبالرموز: ق=(2×م×جاβ)√؛ حيث:
قوانين حساب أبعاد المستطيل
يُمكن حساب أطوال أضلاع المستطيل بعدّة طرق هي كما يأتي:3
- حساب طول الضلع باستخدام القطر وطول الضلع الآخر:
- طول الضلع=(القطر²- طول الضلع الآخر²)√، وبالرموز: أ=(ق²- ب²)√.
- حساب طول الضلع باستخدام المساحة وطول الضلع الآخر:
- طول الضلع=المساحة/طول الضلع الآخر، وبالرموز: أ=م/ب.
- حساب طول الضلع باستخدام المحيط وطول الضلع الآخر:
- طول الضلع=(المحيط- 2×طول الضلع الآخر)/2، وبالرموز: أ= (ح- 2ب)/2.
- حساب طول الضلع باستخدام القطر والزاوية المحصورة بين القطر والضلع المطلوب قياسه:
- طول المستطيل= القطر×جيب تمام الزاوية α، أو عرض المستطيل= القطر×جيب الزاوية α، وبالرموز: أ=ق×جتاα، ب=ق×جاα؛ حيث:
- أ: طول المستطيل، وهو الضلع الأطول فيه والضلع المجاور للزاوية α.
- α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل .
- ب: عرض المستطيل، وهو الضلع المقابل للزاوية α، والضلع الأقصر في المستطيل.
- طول المستطيل= القطر×جيب تمام الزاوية α، أو عرض المستطيل= القطر×جيب الزاوية α، وبالرموز: أ=ق×جتاα، ب=ق×جاα؛ حيث:
قوانين أخرى متعلقة بالمستطيل
من القوانين الأخرى المتعلقة بالمستطيل ما يأتي:
- يُمكن إيجاد الزاوية المحصورة بين قطر المستطيل والقاعدة بعدّة طرق هي كما يأتي:3
- باستخدام القطر وأحد الأضلاع: جيب الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة=الضلع المقابل/ القطر، وبالرموز: جاα=ب/ق، أو جيب تمام الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة=الضلع المجاور/القطر، وبالرموز: جتاα=أ/ق؛ حيث:
- أ: طول المستطيل، وهو الضلع الأطول فيه والضلع المجاور للزاوية α.
- α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل (قاعدته).
- ب: عرض المستطيل، وهو الضلع المقابل للزاوية α، والضلع الأقصر في المستطيل.
- باستخدام الزاوية الحادة بين الأقطار: الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة= الزاوية الحادة بين القطرين/2، وبالرموز: α=β/2؛ حيث:
- α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل (قاعدته).
- β: الزاوية الحادة المحصورة بين القطرين.
- باستخدام القطر وأحد الأضلاع: جيب الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة=الضلع المقابل/ القطر، وبالرموز: جاα=ب/ق، أو جيب تمام الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة=الضلع المجاور/القطر، وبالرموز: جتاα=أ/ق؛ حيث:
- يُمكن إيجاد الزاوية الحادة بين قطري المستطيل (β) بعدّة طرق هي كما يأتي:3
- باستخدام الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة: وهي بإعادة ترتيب القانون السابق: الزاوية الحادة بين قطري المستطيل=2×الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة، وبالرموز: (β=2×α).
- باستخدام المساحة والقطر: جيب الزاوية الحادة بين قطري المستطيل=(2×المساحة)/ القطر²، وبالرموز: (جاβ)= 2م/ق²؛ حيث:
- م: مساحة المستطيل.
- ق: قطر المستطيل.
- β: الزاوية الحادة المحصورة بين القطرين.
أمثلة متنوعة على استخدام قوانين المستطيل
وفيما يأتي أمثلة متنوعة على استخدام قوانين المستطيل:
حساب مساحة المستطيل إذا عُلمت أطوال أضلاعه
مثال 1: احسب مساحة المستطيل الذي طوله 5 سم، وعرضه 7 سم.
الحل:
- وفق القانون: مساحة المستطيل= الطول× العرض.
- مساحة المستطيل=5×7=35 سم².
مثال 2: سجادة مستطيلة الشكل طولها 9م، وعرضها 6م، ما هي مساحتها؟5الحل:
- تعويض قيمة الطول والعرض في قانون مساحة المستطيل: م=أ×ب، لينتج أن: م=9×6، ومنه مساحة السجادة: م=54 م².
حساب مساحة المستطيل إذا عُلم المحيط والعرض
إذا كان محيط المستطيل يساوي 20سم، وعرضه 2سم، كم تبلغ مساحته؟
الحل:
- وفق القانون: محيط المستطيل= 2 × (الطول+ العرض).
- نعوض قيمة المحيط، وقيمة العرض، وذلك لإيجاد الطول.
- 20= 2×(الطول+2).
- 20=2× الطول+4
- 16=2×الطول
- الطول=8 سم.
- بما أن مساحة المستطيل = الطول× العرض.
- مساحة المستطيل=8×2
- مساحة المستطيل= 16 سم².
حساب مساحة المستطيل إذا عُلم القطر والعرض
احسب مساحة المستطيل إذ علمت أن قطره 5 سم، وعرضه 3 سم.
الحل:
- نحسب قيمة الطول من القانون؛ القطر² = الطول² + العرض².
- 5² = الطول² + 3²
- 25 = الطول² + 9
- الطول = (25 – 9) √
- الطول = 16 √
- الطول = 4 سم.
- نعوض قيمة الطول في قانون المساحة: مساحة المستطيل=الطول×العرض.
- مساحة المستطيل = 4 × 3.
- مساحة المستطيل = 12 سم².
حساب محيط ومساحة وطول قطر المستطيل إذا عُلمت أطوال أضلاعه
مستطيل أطوال أضلاعه 8سم، و12سم، ما هو محيط المستطيل، ومساحته، وطول قطره؟1
الحل:
- تعويض قيمة الطول والعرض في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ+ب)، لينتج أن: ح=2(12+8)، ومنه محيط المستطيل:ح=40سم.
- تعويض قيمة الطول والعرض في قانون مساحة المستطيل: م=أ×ب، لينتج أن: م=12×8، ومنه مساحة المستطيل: م=96سم².
- تعويض قيمة الطول والعرض في قانون طول القطر: ق=(أ²+ب²)√، لينتج أن: ق=(12²+8²)√، ومنه قطر المستطيل: ق= 14.4سم.
حساب محيط ومساحة المستطيل إذا عُلمت أطوال أضلاعه
منسطيل طوله 24م، وعرضه 12م، ما هي مساحته ومحيطه؟5
الحل:
- تعويض قيمة الطول والعرض في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ+ب)، لينتج أن: ح=2(24+12)، ومنه محيط المستطيل:ح=72م.
- تعويض قيمة الطول والعرض في قانون مساحة المستطيل: م=أ×ب، لينتج أن: م=24×12، ومنه مساحة المستطيل: م=288م².
حساب محيط المستطيل إذا عُلمت أطوال أضلاعه
ما هو محيط مستطيل أطوال أضلاعه هي 10سم، و5سم؟1
الحل:
- تعويض قيمة الطول والعرض في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ+ب)، لينتج أن: ح=2(10+5)، ومنه محيط المستطيل:ح=30سم.
حساب طول المستطيل إذا عُلمت مساحته وعرضه
مستطيل مساحته 96 سم²، إذا كان عرضه 16سم فما هو طوله؟6
الحل:
- تعويض قيمة المساحة والطول في قانون مساحة المستطيل: م=أ×ب، 96=أ×16، أ=96/16، ومنه طول المستطيل: أ=6سم.
حساب أبعاد المستطيل
مثال 1: سلك طوله 42 سم، تم ثنيه على شكل مستطيل عرضه ضعفي طوله، ما هي أبعاد هذا المستطيل؟7
الحل:
- العرض =2×الطول وفق معطيات السؤال، وبالرموز: ب=2×أ.
- تعويض قيمة المحيط والعرض في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ+ب)، 42=2(أ+2×أ)، 42=6×أ، ومنه طول المستطيل:أ=7سم.
- تعويض قيمة الطول لإيجاد قيمة العرض، ب=2×أ، ب=2×7، ومنه عرض المسطيل: ب=14سم.
مثال 2: المستطيل (دهـ وز)، طول دهـ= 12سم، وطول هـ و= 5سم، ما هو طول د ز، ز و؟8
الحل:
- أضلاع المستطيل المتقابلة متوازية ومتساوية في الطول، ومنه دهـ= ز و= 12سم، هـ و= د ز= 5سم.
مثال 3: مستطيل طوله يزيد 4سم عن ضعفي عرضه، ومحيطه 32سم، ما هي أبعاد هذا المستطيل؟9
الحل:
- الطول=2×العرض+4، وبالرموز: أ=2ب+4 وفق معطيات السؤال.
- تعويض قيمة الطول في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ+ب)، 32=2((2ب+4)+ب)، 32= 6ب+8، وبترتيب المعادلة: 6ب=24، ومنه عرض المستطيل: ب=4سم.
- تعويض قيمة العرض لإيجاد قيمة الطول، أ=2ب+4، أ=2×4+4، ومنه طول المستطيل أ=12سم.
حساب قيمة زاوية في المستطيل
المستطيل (دهـ وز) له قطر يمتد من د إلى و ليشكّل المثلث قائم الزاوية دزو، إذا كان قياس الزاوية زدو: (20+2س)، وقياس الزاوية دوز: (3س)، ما هي قيمة س؟10
الحل:
- قطرا المستطيل يقسماه إلى مثلثين متطابقين قائمين هما: (دزو)، (دهـ و)، ومجموع زوايا المثلث=180، ومنه 90+(20+2س)+ (3س)=180، 5س=70، ومنه قيمة س=14.
حساب طول قطر المستطيل
مثال 1: المستطيل (دهـ وز) له قطران يتقاطعان في النقطة ج، يمتد القطرالأول من د إلى و وطوله 26سم، ويمتد الآخر من هـ إلى ز، ما هو طول القطر هـ ز، وما هو طول نصف القطرهـ ج؟8
الحل:
- طول القطر هـ ز= طول القطر د و= 26سم.
- أقطار المستطيل تنصّف بعضها البعض عند نقطة التقاطع، ومنه هـ ج=ج ز= 26/2، ومنه طول نصف القطر هـ ج= 13سم.
مثال 2: مستطيل طول قطره 5سم ما هو طول قطره الثاني؟8
الحل:
- أقطار المستطيل متساوية في الطول، ومنه طول القطر الأول=طول القطر الثاني=5سم.
حالات خاصة من المستطيل
من الحالات الخاصّة للمستطيل ما يأتي:11
- المربع: يعرف المربع بأنه عبارة عن مستطيل لكن جميع أضلاعه متساوية في الطول.
- مستطيل فيبوناتشي: وهو مستطيل تكون نسبة طوله إلى عرضه هي 1.618، أي أن طوله أكبر من عرضه بـ 1.618 مرة؛ فمثلاً لو كان طول المستطيل 2 فإن عرضه هو: 1.618×2=3.236، ويُسمّى هذا المستطيل أيضاً بالمُستطيل الذهبي لأن نسبته هي النسبة الذهبية 1.618.
المراجع
- ^ أ ب ت ث ج “Properties of Rectangle”, www.byjus.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
- ^ أ ب Dominik Czernia, “Perimeter of a Rectangle Calculator”، www.omnicalculator.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
- ^ أ ب ت ث ج ح خ د ذ Dovzhyk Mykhailo, “Rectangle. Formulas and Properties of a Rectangle”، www.onlinemschool.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
- ^ أ ب Dominik Czernia, “Diagonal of a Rectangle Calculator”، www.omnicalculator.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
- ^ أ ب “Perimeter of a Rectangle”, www.web-formulas.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
- “Rectangle Formula”, www.byjus.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
- “Use algebra to calculate width and length”, www.freemathhelp.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
- ^ أ ب ت “Rectangle: Shape and Properties A special kind of parallelogram “, www.mathwarehouse.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
- “Using the Properties of Rectangles to Solve Problems”, www.courses.lumenlearning.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
- Mark Ryan, “Properties of Rhombuses, Rectangles, and Squares”، www.dummies.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
- Yuanxin (Amy) Yang Alcocer, “Rectangle: Types, Properties & Formulas”، www.study.com, Retrieved 4-2-2020. Edited.
