دليل شامل على قانون محيط الدائرة وكيفية حساب مساحتها

قانون محيط الدائرة

يُمكن حِساب محيط الدائرة من خلال أحد القوانين الآتية:¹

• محيط الدائرة= قُطر الدائرة×π

وبالرموز:

ح=ق×π

• محيط الدائرة= 2×نصف قُطر الدائرة×π

وبالرموز:

ح=2×نق×π

• محيط الدائرة= الجذر التربيعي للقيمة (4×مساحة الدائرة×π)

وبالرموز:

ح= (4×م×π)√

حيث أن:

• م: مساحة الدائرة.
• ح: محيط الدائرة.
• نق: نصف قطر الدائرة، وهو المسافة الواصلة بين المركز وأية نقطة على محيط الدائرة.
• ق: طول قطر الدائرة، وهو يعادل المسافة الواصلة بين أية نقطتين على محيط الدائرة عند مرورها في المركز.
• π: الثابت باي، وتساوي قيمته: 3.14، أو 22/7.

قانون مساحة الدائرة

يُمكن حِساب مساحة الدائرة من خلال أحد القوانين الآتية:²

• مساحة الدائرة= مربع نصف قُطر الدائرة×π

وبالرموز:

م=نق²×π

• مساحة الدائرة= (مربع قُطر الدائرة/4)×π

وبالرموز:

م=(ق²×π)/ 4

• مساحة الدائرة= مربع محيط الدائرة/(4π)

وبالرموز:

م=(ح²/ 4π)

حيث أن:

• م: مساحة الدائرة.
• ح: محيط الدائرة.
• نق: نصف قطر الدائرة.
• ق: طول قطر الدائرة.
• π: الثابت باي، وتساوي قيمته: 3.14، أو 22/7.

أمثلة متنوعة على حساب مساحة ومحيط الدائرة

وفيما يأتي أمثلة متنوعة على حساب مساحة ومحيط الدائرة:

• المثال الأول: احسب مساحة ومحيط دائرة نصف قطرها يساوي 3سم.²

الحل:

• باستخدام القانون: مساحة الدائرة= نق²×π
  • ينتج أن: م=3²×3.14=28.26سم²
• باستخدام القانون: محيط الدائرة= 2×نق×π
  • ينتج أن: ح=2×3×3.14=18.84سم.

• المثال الثاني: احسب مساحة ومحيط دائرة قطرها يساوي 16سم.³

الحل:

• باستخدام القانون: مساحة الدائرة=(ق²×π)/ 4
  • م=(16²×3.14)/4=200.96سم².
• باستخدام القانون: محيط الدائرة=ق×π
  • ح=16×3.14=50.24سم.

• المثال الثالث: احسب مساحة ومحيط حوض دائري الشكل للزهور قطره يساوي 9م.

الحل:

• باستخدام القانون: مساحة الدائرة=(ق²×π)/ 4
  • م=(9²×3.14)/4=63.6م².
• باستخدام القانون: محيط الدائرة=ق×π
  • ح=9×3.14=28.26م.

• المثال الرابع: إذا كان نصف قطر إطار عربة ما 6 سم، جد المسافة المقطوعة من قبل العربة بعد دوران العجل مرة واحدة فقط.⁴

الحل: المسافة المقطوعة من قبل الإطار بعد دورانه مرة واحدة تعادل محيط هذا الإطار، وباستخدام القانون: محيط الدائرة=2×نق×π، ينتج أن محيط الدائرة=2×6×3.14= 37.68سم، وبالتالي فإن المسافة المقطوعة من قبل هذا الإطار بعد دورانه مرة واحدة=37.68سم تقريباً.

• المثال الخامس: جد مساحة الدائرة التي يبلغ قياس محيطها 30م.⁵
• الحل: باستخدام القانون: مساحة الدائرة=(مربع محيط الدائرة/ 4π)، ومنه مساحة الدائرة=(30²/ 4×3.14)=71.65م².

• المثال السادس: إذا كانت مساحة الدائرة 314.159م²، جد طول نصف قطرها.⁵

الحل: باستخدام القانون: مساحة الدائرة=نق²×π، ينتج أن: 314.159=نق²×3.14، ومنه: نق=10م.

• المثال السابع: إذا كان نطاق تغطية أحد الهواتف النقّالة محصوراً ضمن دائرة نصف قطرها 3كم، جد مساحة المنطقة التي يغطيها الهاتف.⁶

الحل: باستخدام القانون: مساحة الدائرة=نق²×π، ينتج أن: مساحة الدائرة=3²×3.14 =28.26كم².

• المثال الثامن: إذا كان عرض الإطار المحيط بصورة دائرية الشكل 4سم، وكان نصف قطر هذه الصورة 12سم، جد مساحة هذا الإطار.⁶

الحل:

• حساب مساحة الدائرة الخارجية: والتي يبلغ نصف قطرها=نصف قطر الدائرة الداخلية+عرض الإطار= 12+4=16سم، وباستخدام القانون: مساحة الدائرة=نق²×π، ينتج أن: مساحة الدائرة=16²×3.14=803.84سم².
• حساب مساحة الصورة: باستخدام القانون: مساحة الدائرة= نق²×π، ومنه مساحة الدائرة= 12²×3.14= 452.16سم².
• حساب مساحة الإطار: والتي تساوي: مساحة الإطار= مساحة الدائرة الخارجية-مساحة الصورة =803.84 -452.16=351.68 سم².

• المثال التاسع: إذا كانت مساحة الدائرة 200م²، جد نصف قطرها.⁶

الحل: باستخدام القانون: مساحة الدائرة=نق²×π، ينتج أن: 200=نق²×3.14، ومنه: نق=8م.

• المثال العاشر: جد مساحة الدائرة التي يبلغ قياس محيطها 40م.⁶

الحل: باستخدام القانون: مساحة الدائرة=(محيط الدائرة²/ 4π)، ومنه: مساحة الدائرة=(40²/ 4×3.14)=127.4م².

• المثال الحادي عشر: إذا كان الفرق بين محيط إحدى الدوائر وقطرها 5سم، جد نصف قطر هذه الدائرة.⁷

الحل: محيط الدائرة هو: ح=ق×π، ووفق معطيات السؤال فإن: محيط الدائرة-قطر الدائرة = 5، أي أن ق×π-ق=5، وبحل المعادلة ينتج أن قطر الدائرة=2.34سم، أما نصف قطرها فيساوي=قطر الدائرة/2=2.34/2=1.166سم.

• المثال الثاني عشر: أرادت هبة تغيير شكل سلك تم تشكيله على شكل دائرة نصف قطرها 49سم وتحويله إلى مربع، جد طول ضلع المربع الناتج.⁷

الحل:

• باستخدام قانون محيط الدائرة: محيط الدائرة=2×نق×π، ينتج أن ح=2×49×3.14=307.72سم، وهو ذاته محيط المربع.
• باستخدام قانون محيط المربع= طول الضلع×4، ينتج أن 307.72/4=طول ضلع المربع=77سم.

فيديو عن الدائره ومساحتها ومحيطها

للتعرف على المزيد عن هذا الشكل الهندسي تابع الفيديو:⁸

المراجع

1. “Circumference (Perimeter) of a circle”, www.mathopenref.com, Retrieved 10-3-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب} “Area of a Circle”, www.mathsisfun.com, Retrieved 10-3-2020. Edited.
3. “Area of circles review”, www.khanacademy.org, Retrieved 9-4-2019. Edited.
4. “Perimeter of a Circle”, www.web-formulas.com, Retrieved 10-3-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب} “Area of a Circle”, byjus.com, Retrieved 10-3-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب ت ث} “area of a circle”, corbettmaths.files.wordpress.com, Retrieved 10-3-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب} “Problems On Area And Circumference Of A Circle”, byjus.com, Retrieved 11-3-2020. Edited.
8. فيديو عن الدائره ومساحتها ومحيطها.