كيفية فهم وتطبيق قانون الجيب في الرياضيات: دليل شامل

صيغة قانون الجيب

يُعبّر عن قانون الجيب في الرياضيات باستخدام العلاقة الرياضية الآتية:¹

(أ / جا أَ) = (ب / جا بَ) = (جـ / جا جـَ)

أو العلاقة الآتية:

(جا أَ / أ) = (جا بَ / ب) = (جا جـَ / جـَ)

حيث إنَّ:

• أ، ب، ج: أطوال أضلاع المثلث.
• أَ، بَ، جَ: الزوايا المقابلة لأضلاع المثلث.

لمزيد من المعلومات حول قانون جيب التمام يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو قانون جيب التمام.

أمثلة على قانون الجيب

حساب طول الضلع أ

المثال (1):

أ، ب، جـ مثلث غير قائم الزاوية، احسب طول الضلع أ، إذا علمت أنَّ قياس الزاوية أَ = 35°، والزاوية بَ = 95°، وطول الضلع ب = 10 سم.

الحل:

• كتابة القانون:

(أ / جا أَ) = (ب / جا بَ)

• تعويض المعطيات:

(أ / جا 35°) = (10 / جا 95°)
أ = (جا 35° × 10) / جا 95°
أ = 10 × (جا 35° / جا 95°)

• إيجاد الناتج:

أ = 5.76 سم، وهو طول الضلع المجهول أ بوحدة السنتيمتر.

المثال (2):

أ، ب، جـ مثلث غير قائم، احسب طول الضلع أ، إذا علمت أنَّ قياس الزاوية أَ = 30°، والزاوية بَ = 90°، وطول الضلع ب = 10 سم.

الحل:

• كتابة القانون:

(أ / جا أَ) = (ب / جا بَ)

• تعويض المعطيات:

(أ / جا 30°) = (10 / جا 90°)
أ = (جا 30° × 10) / جا 90°
أ = 10 × (جا 30° / جا 90°)

• إيجاد الناتج:

أ = 5 سم، وهو طول الضلع المجهول أ بوحدة السنتيمتر.

حساب طول الضلع ب

المثال (1):

أ، ب، جـ مثلث غير قائم، احسب طول الضلع ب، إذا علمت أنَّ قياس الزاوية أَ = 36°، والزاوية بَ = 48°، وطول الضلع أ = 8 سم.

الحل:

• كتابة القانون:

(أ / جا أَ) = (ب / جا بَ)

• تعويض المعطيات:

(8 / جا 36°) = (ب / جا 48°)
ب = (جا 48° × 8) / جا 36°
ب = 8 × (جا 48° / جا 36°)

• إيجاد الناتج:

ب = 10.11 سم، وهو طول الضلع المجهول ب بوحدة السنتيمتر.

المثال (2):

أ، ب، جـ مثلث غير قائم، احسب طول الضلع ب، إذا علمت أنَّ قياس الزاوية أَ = 30°، والزاوية بَ = 90°، وطول الضلع أ = 25 سم.

الحل:

• كتابة القانون:

(أ / جا أَ) = (ب / جا بَ)

• تعويض المعطيات:

(25 / جا 30°) = (ب / جا 90°)
ب = (جا 90° × 25) / جا 30°
ب = 25 × (جا 90° / جا 30°)

• إيجاد الناتج:

ب = 50 سم، وهو طول الضلع المجهول ب بوحدة السنتيمتر.

حساب طول الضلع جـ

المثال (1):

أ، ب، جـ مثلث غير قائم، احسب طول الضلع جـ، إذا علمت أنَّ قياس الزاوية أَ = 30°، والزاوية جـَ = 94°، وطول الضلع أ = 9 سم.

الحل:

• كتابة القانون:

(أ / جا أَ) = (جـ / جا جـَ)

• تعويض المعطيات:

(9 / جا 30°) = (جـ / جا 94°)
جـ = (جا 94° × 9) / جا 30°
جـ = 9 × (جا 94° / جا 30°)

• إيجاد الناتج:

جـ = 17.96 سم، وهو طول الضلع المجهول جـ بوحدة السنتيمتر.

المثال (2):

أ، ب، جـ مثلث غير قائم، احسب طول الضلع جـ، إذا علمت أنَّ قياس الزاوية أَ = 30°، والزاوية جـَ = 90°، وطول الضلع أ = 20 سم.

الحل:

• كتابة القانون:

(أ / جا أَ) = (جـ / جا جـَ)

• تعويض المعطيات:

(20 / جا 30°) = (جـ / جا 90°)
جـ = (جا 90° × 20) / جا 30°
جـ = 20 × (جا 90° / جا 30°)

• إيجاد الناتج:

جـ = 40 سم، وهو طول الضلع المجهول جـ بوحدة السنتيمتر.

إيجاد قياس الزاوية أَ

أ، ب، جـ مثلث غير قائم، جد قياس الزاوية أَ، إذا علمت أنَّ قياس الزاوية بَ = 95°، وطول الضلع أ = 5.76 سم، وطول الضلع ب = 10 سم.

الحل:

• كتابة القانون:

(أ / جا أَ) = (ب / جا بَ)

• تعويض المعطيات:

(5.76 / جا أَ) = (10 / جا 95°)
جا أَ = (جا 95° × 5.76) / 10
جا أَ = 0.5738

• إيجاد الناتج:

أَ = 35°، وهو قياس الزاوية المجهول أَ بالدرجة.

إيجاد قياس الزاوية بَ

أ، ب، جـ مثلث غير قائم، جد قياس الزاوية بَ، إذا علمت أنَّ قياس الزاوية أَ = 30°، وطول الضلع أ = 9 سم، وطول الضلع ب = 15 سم.

الحل:

• كتابة القانون:

(أ / جا أَ) = (ب / جا بَ)

• تعويض المعطيات:

(9 / جا 30°) = (15 / جا بَ)
جا بَ = (جا 30° × 9) / 15
جا بَ = 0.8333

• إيجاد الناتج:

بَ = 56°، وهو قياس الزاوية المجهول بَ بالدرجة.

إيجاد قياس الزاوية جـَ

أ، ب، جـ مثلث غير قائم، جد قياس الزاوية جـَ، إذا علمت أنَّ قياس الزاوية أَ = 35°، وقياس الزاوية بَ = 25°.

الحل:

• كتابة قانون مجموع زوايا المثلث:

أَ + بَ + جـَ = 180°

• تعويض المعطيات:

°35 + °25 + جـَ = 180°

• إيجاد الناتج:

جـَ = 120°، وهو قياس الزاوية المجهول جـَ بالدرجة.