طريقة حساب نصف قطر الدائرة من طول القوس: دليل تعليمي

حساب نصف قطر الدائرة من القوس

يُعد طول القوس (بالإنجليزية: Arc Length) جزءًا من محيط الدائرة وهو المسافة التي تمر عبر الخط المنحني لجزء من محيط الدائرة،¹ ويُسمى الخط المستقيم الواصل بين طرفي قوس الدائرة بالوتر،² ويُمكن إيجاد نصف قطر الدائرة من القوس بطريقتين وهما كما يأتي:

حساب نصف قطر الدائرة بمعلومية ارتفاع القوس وطول الوتر

يُمكن حساب نصف قطر الدائرة بمعلومية ارتفاع القوس وطول الوتر من خلال المعادلة الآتية:²

نصف القطر= (ارتفاع القوس/2) + (الوتر² / 8× ارتفاع القوس)

وبالرموز:

نق= (ل/2) + (و² / 8 ل)

حيث إنّ:

• نق: نصف قطر الدائرة.
• ل: ارتفاع قوس الدائرة، وهو المسافة الواصلة بين منتصف الوتر وقمة القوس.
• و: طول وتر الدائرة.

حساب نصف قطر الدائرة بمعلومية طول القوس

يُمكن حساب نصف قطر الدائرة بمعلومية طول القوس كما يأتي:

حساب نصف قطر الدائرة إذا كان قياسها بالراديان

تُستخدم المعادلة الآتية لحساب طول القوس إذا كان الزاوية مُعطاة بالراديان:¹

طول القوس= نق × θ

وبإعادة كتابة المعادلة يُمكن حساب نصف القطر على النحو الآتي:¹

نصف القطر = طول القوس / θ

وبالرموز:

نق = ق / θ

حيث إنّ:

• ق: طول قوس الدائرة.
• نق: نصف قطر الدائرة، ويُعرّف بأنه المسافة بين مركز الدائرة وبين أي نقطة على محيطها.
• θ: الزاوية المركزية المقابلة للقوس، وتُقاس بالراديان.

حساب نصف قطر الدائرة إذا كان قياس بالدرجات

تُستخدم المعادلة الآتية لحساب طول القوس إذا كان الزاوية مُعطاة بالدرجات:¹

طول القوس= (2×π×نق×θ) / 360

وبإعادة كتابة المعادلة يُمكن حساب نصف القطر على النحو الآتي:³

نصف القطر = (طول القوس×360) / (2 ×π×θ)

وبالرموز:

نق = (ق×360) / (2 ×π×θ)

نق = (ق×180) / (π×θ)

حيث إنّ:¹

• ق: طول قوس الدائرة.
• نق: نصف قطر الدائرة، ويُعرّف بأنه المسافة بين مركز الدائرة وبين أي نقطة على محيطها.
• θ: الزاوية المركزية المقابلة للقوس، وتُقاس بالدرجات.
• π: الثابت باي، وقيمته تساوي 3.14.

أمثلة على حساب نصف قطر الدائرة من القوس

ندرج فيما يأتي أمثلة على حساب نصف قطر الدائرة من القوس:

إيجاد نصف قطر الدائرة بمعلومية ارتفاع القوس وطول الوتر

جد نصف قطر الدائرة التي فيها قوس له وتر طوله 4 سم، والمسافة الواصلة من منتصف الوتر إلى قمة القوس تساوي 1.5 سم.

الحل:

تُعوض المعطيات في القانون كالآتي:

1. نصف القطر= (ارتفاع القوس/2) + (الوتر² / 8× ارتفاع القوس)
2. نصف القطر= (2/1.5) + (4² / 8×1.5)
3. نصف القطر = 0.75 + 1.33
4. نصف القطر = 2.08 سم.

إيجاد نصف قطر الدائرة بمعلومية طول القوس

احسب نصف قطر الدائرة التي فيها طول القوس يساوي 6 سم، والزاوية المركزية المقابلة للقوس تساوي 40 درجة.

الحل:

تُعوض المعطيات في القانون كالآتي:

1. نصف القطر = (طول القوس×360) / (2 ×π×θ)
2. نصف القطر = (6×360) / (2 ×3.14×40)
3. نصف القطر = 2160 / 251.2
4. نصف القطر = 8.6 سم.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث ج} “Arc Length Formula”, BYJU’S, Retrieved 1/1/2022. Edited.
2. ^ ^{أ ب} Michael O. Smathers (24/4/2017), “How to Find the Radius of an Arc”, SCIENCING, Retrieved 1/1/2022. Edited.
3. Konstantinos Michailidis (29/11/2015), “How do you find the radius of a circle given the length of an arc?”, Socratic Q&A, Retrieved 1/1/2022. Edited.